EL SISTEMA NUMERICO.

El Sistema de Numeración son los símbolos o signos utilizados para expresar los números, estos sistemas son Sistema Binario, Octal, Decimal y Hexadecimal.

Sistema Binario:

El sistema de numeración binario o de base 2 es un sistema posicional que utiliza sólo dos símbolos para representar un número. Los agrupamientos se realizan de 2 en 2: dos unidades de un orden forman la unidad de orden superior siguiente. Este sistema de numeración es sumamente importante ya que es el utilizado por las computadoras para realizar todas sus operaciones.

- Por ejemplo: el número 10101101 representa, empezando por la derecha, (1 × 20) + (0 × 21) + (1 × 22) + (1 × 23) + (0 × 24) + (1 × 25) + (0 × 26) + (1 × 27) = 173.


Operaciones con Números Binarios

Antes de ver las operaciones básicas de suma, resta, producto y cociente necesitamos conocer como se representa un número decimal en binario y viceversa.

Decimal a Binario.

Para obtener de un número decimal su representación en el sistema binario, debemos dividir el primero por 2 siendo el resto de cada una de las divisiones leído de derecha a izquierda los que compondrán el número binario.

Binario a Decimal.

Para transformar un número representado como binario en decimal multiplicamos cada cifra del binario por 2 elevado a una potencia que ira disminuyendo hasta llegar a cero. Para determinar la primer potencia contamos las cifras del binario (5 en este caso) y disminuimos dicho número en 1 unidad (4 en el ejemplo).

Suma de Números Binarios

Es similar a la suma decimal excepto que se manejan sólo dos dígitos (0 y 1).
Las sumas básicas son:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10 (número 2 en binario)
Ejemplo: 100110101 + 11010101 =

Se comienza a sumar desde la izquierda, en el ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 y "llevamos" 1. Se suma este 1 a la siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal).
Resta de Números Binarios

Es semejante a la decimal excepto que se utilizan dos dígitos y teniendo en cuenta que se realizan las restas parciales entre dos dígitos de idénticas posiciones, uno del minuendo y otro del sustraendo, si el segundo excede al primero, se sustrae una unidad del dígito de más a la izquierda en el minuendo (si existe y vale 1), convirtiéndose este último en 0 y equivaliendo la unidad extraída a 1 * 2 en el minuendo de resta parcial que estamos realizando. Si es 0 el dígito siguiente a la izquierda, se busca en los sucesivos teniendo en cuenta que su valor se multiplica por 2 a cada desplazamiento a la derecha.

Las restas básicas son:

0 - 0 = 0
0 - 1 = No se puede realizar.
1 - 0 = 1
1 - 1 = 0
Ejemplo: 11001 – 1010 =

Producto de Números Binarios

El producto de números binarios es semejante al decimal, ya que el 0 multiplicado por cualquier otro da 0, y el 1 es el elemento neutro del producto.
Los productos básicos son:
0 * 0 = 0
0 * 1 = 0
1 * 0 = 0
1 * 1 = 1
Ejemplo: 10110 * 1001 =

Cociente de Números Binarios

La división se realiza en forma semejante al decimal, con la salvedad que las multiplicaciones y restas internas del proceso de la división se realizan en binario.
Ejemplo: 100010 / 110 =


Sistema Octal:

Es un sistema de numeración cuya base es 8, es decir, utiliza símbolos para la representación de cantidades, Estos símbolos son: 0 1 2 3 4 5 6 7. Este sistema permite la conversión de números binarios largos a unas formas simples y convenientes para su lectura.

- Por ejemplo: ¿Qué numero decimal representa el número octal 4 701 utilizando el TFN?
4*83 + 7*82 +1*80= 2048+ 448+ 0+ 1= 2497.

Sistema Decimal:

Este sistema es el más usado, tiene como base el número 10, ósea que posee 10 dígitos (o símbolos) diferentes (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9). Fue desarrollado por los hindúes, posteriormente lo introducen los árabes en Europa, donde recibe el nombre de Sistema de Numeración Decimal o Arábigo.

Sistema Hexadecimal:

Es un sistema posicional de numeración en el que su base es 16, por lo tanto, utilizara 16 símbolos para la representación de cantidades. Este sistema es en la actualidad uno de los más usados en el proceso de datos.

- Por ejemplo: Para convertir el número A7C16) en binario basta pasar cada uno de los 3 números independientemente a binario:

A: 1010
7: 0111 A7C16) = 1010, 0111, 1100
C: 1100


Conversiones numéricas:

SISTEMAS NUMÉRICOS

Digito: Es un signo que representa una cantidad contable. Dependiendo del sistema de numeración, serán los diferentes signos que se tenga para representar cualquier cantidad.
Numero: Es la representación de una cantidad contable por medio de uno o más dígitos.
Sistema de Numeración: Es un conjunto de dígitos que sirven para representar una cantidad contable.
El nombre del sistema de numeración que se trate serán los diferentes dígitos posibles para tal representación.
Así también los sistemas de numeración se les llama base, de tal manera que el sistema de numeración binario, también se le llama base 2.
Los sistemas de numeración más utilizados en electrónica son:

* Binario o Base 2 (0, 1)
* Octal o Base 8 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)
* Hexadecimal o Base 16 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F)
* Decimal o Base 10 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)

Absoluto
Valores de un digito
Relativo
Valor Absoluto de un Digito: Es aquel representa un digito sin importar donde se encuentre así:

5 2 7 6 10 BASE 10

5 Cinco 2 Dos 7 Siete 6 Seis


Valor Relativo de un Digito: Es aquel representa el mismo digito, dependiendo de la posición que se encuentre con respecto a la división de los enteros y las fracciones.

53 22 71 60 = Cinco mil, doscientos, Setenta y Seis

5 x 103 + 2 x 102 + 7 x 101 + 6 x 100

5 x 1000 + 2 x 100 + 7 x 10 + 6 x 1


Conversiones Entre los Sistemas de Numeración
Conversión de decimal a cualquier otro sistema de numeración:
Para convertir de decimal a cualquier otro sistema se hará por división sucesiva, es decir que si queremos convertir a binario un numero de decimal, bastara dividir entre dos la cantidad y el resultado volverlo a dividir hasta que el resultado sea menor a 2, siempre con números enteros, de tal manera si él numero decimal es non o impar sobrara siempre uno y si es par sobrara cero y estos residuos se pondrán en orden de la ultima división a la primera y se da dicho numero binario.
BINARIO O BASE 2
Ejemplo de la conversión de decimal a binario:
7004 10 1101101011100 2 2003 10 11111010011 2
7004 0 2003 1
3502 0 1001 1
1751 1 500 0
875 1 250 0
437 1 125 1
218 0 62 0
109 1 31 1
54 0 15 1
27 1 7 1
13 1 3 1
6 0 1 1
3 1
1 1
7699 10 1111000010011 2 2531 10 1001111000112
7699 1 2531 1

* 1 1265 1

1924 0 623 0
962 0 316 0
481 1 158 0
240 0 79 1
120 0 39 1
60 0 19 1
30 0 9 1
15 1 4 0
7 1 2 0
3 1 1 1
1 1
Para convertir de cualquier sistema de numeración a decimal se hará por el peso de los dígitos, convirtiéndose estos a decimal y sumando el resultado.

DECIMAL


BINARIO


BASE 4

OCTAL

HEXADECIMAL

En matemáticas, varios sistemas de notación que se han usado o se usan para representar cantidades abstractas denominadas números. Un sistema numérico está definido por la base que utiliza. La base de un sistema numérico es el número de símbolos diferentes o guarismos, necesarios para representar un número cualquiera de los infinitos posibles en el sistema.
A lo largo de la historia se han utilizado multitud de sistemas numéricos diferentes, pero existen 4 de sistemas numéricos de los mas utilizados en la actualidad y son:

* Binario o Base 2 (2 Dígitos, 0 - 1)
* Octal o Base 8 (8 Dígitos, 0 - 7)
* Decimal o Base 10 (10 Dígitos, 0 - 9)
* Hexadecimal o Base 16 (16 Dígitos, 0 - f)

Valores posiciónales.
La posición de una cifra indica el valor de dicha cifra en función de los valores exponenciales de la base. En el sistema decimal, la cantidad representada por uno de los diez dígitos -0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9- depende de la posición del número completo.
Para convertir un número n dado en base 10 a un número en base b, se divide (en el sistema decimal) n por b, el cociente se divide de nuevo por b, y así sucesivamente hasta obtener un cociente cero.
Sistema Numérico Binario o Base 2
El sistema de numeración más simple que usa la notación posicional es el sistema de numeración binario. Este sistema, como su nombre lo indica, usa solamente dos dígitos (0,1).

Números decimales del 0 al 10 y sus equivalentes en binario

Decimal

Binario

Sistema Numérico Octal o Base 8

El sistema de numeración octal es también muy usado en la computación por tener una base que es potencia exacta de 2 o de la numeración binaria. Esta característica hace que la conversión a binario o viceversa sea bastante simple. El sistema octal usa 8 dígitos (0,1,2,3,4,5,6,7) y tienen el mismo valor que en el sistema de numeración decimal. Como el sistema de numeración octal usa la notación posicional entonces para el número 3452.32q tenemos:
2*(80) + 5*(81) + 4*(82) + 3*(83) + 3*(8-1) + 2*(8-2) = 2 + 40 + 4*64 + 64 + 3*512 + 3*0.125 + 2*0.015625 = 2 + 40 + 256 + 1536 + 0.375 + 0.03125 = 1834 + 40625dentonces, 3452.32q = 1834.40625d
Los números octales pueden construirse a partir de números binarios agrupando cada tres dígitos consecutivos de estos últimos (de derecha a izquierda) y obteniendo su valor decimal.
Por ejemplo, el número binario para 74 (en decimal) es 1001010 (en binario), lo agruparíamos como 1 001 010. De modo que 74 en octal es 112.
Es posible que la numeración octal se usara en el pasado en lugar de la decimal, por ejemplo, para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares. Esto explicaría porqué en latín nueve (novem) se parece tanto a nuevo (novus). Podría tener el significado de número nuevo.
Sistema Numérico Decimal o Base 10
El sistema de numeración decimal es el más usado, tiene como base el número 10, o sea que posee 10 dígitos (o símbolos) diferentes (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). El sistema de numeración decimal fue desarrollado por los hindúes, posteriormente lo introducen los árabes en Europa, donde recibe el nombre de sistema de numeración decimal o arábigo. Si se aplica la notación posicional al sistema de numeración decimal entonces el dígito número n tiene el valor: (10n)* A
Este valor es positivo y es mayor o igual que uno si el dígito se localiza a la izquierda del punto decimal y depende del dígito A, en cambio el valor es menor que uno si el dígito se localiza a la derecha del punto decimal. Por ejemplo, el número 3489.125 expresado en la notación posicional es:

primero 9 * (100) = 9 --------- primero 1*(10-1) = 0.1
segundo 8 * (101) = 80 -------- segundo 2*(10-2) = 0.02
tercero 4 * (102) = 400 -------- tercero 5*(10-3) = 0.005
cuarto 3 * (103) = 3000
Notación Posicional del Sistema

(10-6) = 0.000001
(10-5) = 0.00001
(10-4) = 0.0001
(10-3) = 0.001
(10-2) = 0.01
(10-1) = 0.1
(100) = 1
(101) = 10
(102) = 100
(103) = 1000
(104) = 10000
(105) = 100000
(106) = 10000000


Sistema Numérico Hexadecimal o Base 16
El sistema de numeración hexadecimal, o sea de base 16, (es común abreviar hexadecimal como hex aunque hex significa base seis y no base dieciséis). El sistema hexadecimal es compacto y nos proporciona un mecanismo sencillo de conversión hacia el formato binario, debido a esto, la mayoría del equipo de cómputo actual utiliza el sistema numérico hexadecimal. Como la base del sistema hexadecimal es 16, cada dígito a la izquierda del punto hexadecimal representa tantas veces un valor sucesivo potencia de 16, por ejemplo, el número 123416 es igual a:

1*163 + 2*162 + 3*161 + 4*160
lo que da como resultado:

4096 + 512 + 48 + 4 = 466010
Cada dígito hexadecimal puede representar uno de dieciséis valores entre 0 y 1510. Como sólo tenemos diez dígitos decimales, necesitamos inventar seis dígitos adicionales para representar los valores entre 1010 y 1510. En lugar de crear nuevos símbolos para estos dígitos, utilizamos las letras A a la F.

Para convertir un número hexadecimal en binario, simplemente sustituya los correspondientes cuatro bits para cada dígito hexadecimal, por ejemplo, para convertir 0ABCDh en un valor binario:
0 A B C D (Hexadecimal)
0000 1010 1011 1100 1101 (Binario)